DM--多项分布

多项分布是二项分布的推广，二项分布也叫伯努利分布。

二项分布（伯努利分布）

二项分布的典型列子是抛硬币。硬币正面朝上的概率为$p$,连续抛$n$次，$k$次朝上的概率就服从二项分布。其概率表示为： $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!*k!}p^k(1-p)^{n-k}$ 如果对二项分布做简单的推广，就会得到多项分布。

多项式定理

我们知道多项式展开得到的项会是如下： $(x_1+x_2...+x_k)^n=\sum\frac{n!}{r_1!*r_2 ...r_k!}{x_1}^{r_1}{x_2}^{r_2}...{x_k}^{r_k}$ 其中$r_1+r_2+…+r_k=n$,由此，可知，当选取$x_1$的次数为$r_1$,选取$x_2$的次数为$r_2$，…选取$x_k$的次数为$r_k$是，可以得到一个项${x_1}^{r_1}{x_2}^{r_2}…{x_k}^{r_k}$,而可能的选取方式有$\binom{n}{r_1}\binom{n-r_1}{r_2}…\binom{n-r_1-r_2-…-r_{k-1}}{r_k}$次，即为$\frac{n!}{r_1! * r_2 !… * r_k!}$

多项分布

现在抛的不是硬币，而是骰子，那么就不是像抛硬币时只有两个结果，而是六个结果了。如果六个朝上的概率分别为$p_1,p_2,…,p_6$,那么抛$n$次骰子，六个面分别出现$r_1,r_2,…,r_6$的概率可以表示为： $P(X_1=r_1,X_2=r_2,...,X_6=r_6)=\frac{n!}{r_1! * r_2! ... * r_6!}p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_6^{r_6}$ 在$r_1+r_2+…+r_6=n，p_1+p_2…+p_6=1$时，上面就是抛骰子的多项分布，它和多项式定理的关系如下： $(p_1+p_2+...+p_6)^n = \sum\frac{n!}{r_1!*r_2 ...r_6!}{x_1}^{r_1}{x_2}^{r_2}...{x_6}^{r_6} = 1$ 那么抛骰子可以写成如上的形式，则如果有$k$个可能的结果，则其多项分布也是很容易写出来的了。